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螺线(Spiral),也称定倾曲线,指任何一种围绕一个中心点或一条轴旋转,同时又逐渐远离动点的轨迹。

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例如螺旋线(非平面曲线)及常用的平面螺线、阿基米德螺线、对数螺线、双曲螺线等。在力学、工程技术中,螺线有广泛的应用。

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难易指数:★★★★

适宜对象:数学兴趣班

本期编号:D00072

关键词:螺线、阿基米德螺旋线

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螺线-大自然的鬼斧神工

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简介

螺线(Spiral),也称定倾曲线,是一类特殊曲线。它是切向量与一个固定的方向成定角的曲线。曲线为一般螺线的充分必要条件是它的挠率与曲率之比为常数,这类特殊曲线在力学工程技术中有着广泛的应用。螺线可分为螺旋线(非平面曲线)及平面螺线。

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在空间,一个动点M沿直线L作匀速直线运动,同时又以等角速度绕同平面的轴线Oz旋转阿基米德螺线,M的轨迹是一条空间(非平面)曲线,称为螺旋线。它分为左旋与右旋两种。螺旋线是绕在圆柱面或圆锥面上的曲线阿基米德螺线,而它的切线与定直线(曲面的母线)的交角,是固定不变的。

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对于平面螺线,是指在平面极坐标系中,如果极径ρ随极角θ的增加而成比例增加(或减少),这样的动点所形成的轨迹。典型的平面螺线有阿基米德螺线、对数螺线、双曲螺线等。

(一)平面螺线

1、阿基米德螺线

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阿基米德螺线是实践中常用的一种曲线。动点在一直线上做匀速运动,而这条直线又围绕着自己上面的一个定点作匀速转动的动点的轨迹称为阿基米德螺线,也叫等速螺线或平面螺线。它的极坐标方程为:

阿基米德在其《螺线》(On Spirals) 一书中引进了在极坐标ρ与θ之下的平面螺线ρ=aθ,其绕线不在同一平面上。

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据说,阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的。柯农死后,阿基米德继续研究,又发现许多重要性质,因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了。为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,它发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。

被称作“阿基米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及等地使用。一些喷淋冷却塔所用的螺旋喷嘴喷出喷淋液的运动轨迹也为阿基米德螺线

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2、对数螺线

对数螺线是一种特殊曲线。指在极坐标系中,极半径ρ的对数与极

角θ的比为常数的点M(ρ,θ)的轨迹。它的极坐标方程为

。式中,a、k为常数,e为自然对数的底。

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对数螺线上点M(ρ,θ)的切线与极半径OM的夹角α都相等(cot α=k),因而亦称它为等角螺线。当极角按算术级数增加时,对数螺线的极半径按几何级数增加。对数螺线关于极点O的垂足曲线和反演图形仍然是与原曲线全等的对数螺线,仅位置有所不同。对数螺线的渐伸线和渐屈线也都是对数螺线。

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对数螺线是1638年由笛卡儿引入的,雅各布·伯努利作了深入的研究,他在遗嘱里吩咐要把对数螺线刻在他的墓碑上,因此又称伯努利螺线。

D00058期:伯努利:史上绝无仅有的3代8位科学家的家族

从植物嫩枝的顶端往下,叶子大致上是按对数螺线排列的,这样能使采光面积达到最大;在古生物的研究中,也应用了这种曲线。对数螺线上任一点的切线,与切点的矢径相交成固定的角。

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这一性质在机械上有广泛的应用。如果旋转的切削刀沿此曲线的弧运动,就可保持固定的切削角,这种刀已在锄草机中使用。为了制造的方便,对数螺线的短弧,可以用阿基米德螺线的短弧近似代替。

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3、双曲螺线

双曲螺线,也称反螺线,是一种特殊曲线,是阿基米德螺线关于极点的反演图形。它是极径和极角成反比例的动点轨迹。双曲螺线的方程是:

双曲螺线,以直线y=a为渐近线。曲线有两支,它们关于y轴对称。

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(二)螺旋线

在空间,一个动点M沿直线L作匀速直线运动,同时又以等角速度绕同平面的轴线Oz旋转,M的轨迹是一条空间(非平面)曲线,称为螺旋线。它分为左旋与右旋两种。

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右旋

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左旋

螺旋线是绕在圆柱面或圆锥面上的曲线,而它的切线与定直线(曲面的母线)的交角,是固定不变的。

当动直线L平行于轴线Oz时,称为圆柱螺线。它是工程上应用最广泛的一种空间曲线,它的参数方程是:

它在轴线Oz方向的投影是圆;在与轴线垂直方向的投影,是正弦曲线。

自然界和日常生活中处处出现螺旋线,例如蝙蝠出洞时的飞行轨迹;植物的茎与叶;人的耳蜗等等。

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螺旋线还是生物学与核物理的一种重要结构,以光速运动的中微子和反中微子的轨迹,是某种具有相反(左与右)旋转性的螺旋线,而通常的螺钉或螺母具有右旋性。自行车左、右脚蹬轴的螺纹分别具有左、右旋性。

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