一、函数奇偶性定义

对于函数定义域内一切x,如果f(一x)=f(x)奇函数乘奇函数,那么函数是偶函数。且偶函数的图象关于y轴对称;如果f(一x)=一f(×),那么函数是奇函数。且奇函数的图象关于原点对称。

二、函数的奇偶性与单调性的关系

函数的奇偶性与单调性不同,单调性是函数的局部性质,奇偶性是函数的整体性质。单调性是比较区间D上f(x1)与f(X2)的大小,是函数的增减性质;而奇偶性是求f(一x)与f(X)、f(一X)的关系。

奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反。

三、关于函数奇偶性的结论

1、若函数的定义域关于原点对称,且①f(一x)=一f(X),则称f(x)是奇函数;

②f(一x)=f(x),则称f(x)是偶函数;

③f(一x)=一f(Ⅹ)且f(一x)=f(×),称f(x)既是奇函数又是偶函数;

④f(一x)≠f(X)且f(一×)≠一f(×),称f(x)是非奇非偶函数;

2、若函数的定义域不关于原点对称,则此函数是非奇非偶函数。

错点:研究函数的奇偶性而不考虑函数的定义域。如f(x)=X²(x∈(一1,1],f(一x)=(一X)²=X²=f(x),∴f(×)是偶函数。显然上式对x=1不成立。

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题型一:判断函数的奇偶性

1.分段函数奇偶性判断

判断函数y=

X²一2X+5,Ⅹ>o

O,X=o

一X²一2X一5,X

的奇偶性。

解:由定义知,函数的定义域为R,关于原点对称。

当x>0时,一x

当X0,f(一x)=(一×)²一2(一x)+5=X²+2X+5=一f(x);

当x=0时,一x=0,f(一0)=f(0)=0,

综上所述,函数是奇函数。

纠错:分段函数必须每段都讨论。并且奇偶性一致。当然前提是定义域关于原点对称。

2、含参数的函数的奇偶性的判断

例:判断函数f(X)=|x+a|一|X一a|(a∈R)的奇偶性。

解:函数的定义域为(一∞,+∞),关于原点对称。

f(一x)=|一X+a丨一丨一X一a丨=丨X一a丨一丨X+a丨=一(|X+a|一丨X一a|)=一f(x),∴f(x)是奇函数。

错点:上述解法似乎没有错误,但仔细分析还是发现了问题。

当a=0时,f(x)=0,f(一x)=f(x)=一f(X)=0,函数既是奇函数又是偶函数。

正确解法:1、看定义域;

2、当a≠0时,同上,函数为奇函数;

3、当a=0时,函数既是奇函数又是偶函数。

综上所述:当a=0时,函数既是奇函数又是偶函数;

当a≠0时,函数是奇函数。

题型二:利用奇偶性求函数的解析式

例:①已知f(X)是R上的偶函数,且当x0时,f(x)=

②若f(x)是R上的奇函数,当×>0时,f(X)=一2X²+3Ⅹ+1,求f(×)的解析式。

〔分析〕求什么就从什么开始,把所求问题转化为已知问题。

解①设x>0,则一x

②当x0,f(一X)=一2(一×)²+3(一×)+1=一2X²一3X+1,又因为f(Ⅹ)是奇函数,故f(X)=一f(一x),∴f(Ⅹ)=2X²+3x一1。

又f(x)是R上的奇函数,∴f(一0)=f(0)=0,

∴f(x)的解析式为f(X)=

一2X²+3X+1,(X>0)

0,(Ⅹ=0)

2X²+3X一1。

利用奇偶性求函数解析式纠错:

1、求哪个区间的解析式就设x在哪个区间;

2、所求区间乘以一1转化为已知区间,代入求解析式;

3、若是偶函数,则f(x)=f(一x)=…

若是奇函数,则f(x)=一f(一x))=…

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题型三、奇偶性与单调性的密切联系

例:设f(x)是R上的偶函数,在区间(一∞,0)上递增,且有f(2a²+a+1)

〔分析〕求解含有“f”的不等式,必须利用函数的单调性。因2a²+a+1=2(a+1/4)²+7/8>0,3a²一2a+1=3(a一1/3)^2+2/3>0,因f(X)是R上偶函数,且在(一∞,0)上递增,所以f(X)在(0,+∞)递减,所以利用单调性去掉f,变成普通不等式求解。

解:∵2a²+a+1=2(a+1/4)²+7/8>0

3a²一2a+1=3(a一1/3)²+2/3>0

又因f(X)是偶函数,在(一∞奇函数乘奇函数,0)上递增,当X>0时,一X

∴2a²+a+1>3a²一2a+1

解得0

即a的取值范围是{a丨0

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